INTRODUCTION 导论:

A. Overview 概述:

a. Definition & Scope 定义与范围:

1. Definition 定义: Digital Logic 数字逻辑, 研究如何用离散逻辑值、逻辑门和存储元件构造能够执行运算与保存状态的数字电路
2. Boundary 学科边界: 本页从逻辑功能与时序出发, 连接布尔代数与硬件实现；晶体管器件与制造属于电路和微电子方向, 完整处理器的数据通路见 COMPUTER ORGANIZATION 计算机组成

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Connection 学科衔接:

1. One-Bit Addition 一位加法: 输入 A 与 B, 输出和 S 与进位 C；$S=A\oplus B$, $C=AB$；A = 1 且 B = 1 时, S = 0 且 C = 1；对应组合逻辑中的半加器
2. From Function to State 从功能到状态: 组合电路产生结果, 寄存器在约定时钟边沿保存结果, 控制逻辑决定下一步动作 </aside>

I. DATA REPRESENTATION 数据表示:

A. Number Systems 数制:

a. Bits & Place Value 比特与位权:

1. Bits 比特: 0 与 1 表示离散逻辑值；多位信号构成位向量, 比特串的数值由编码规则决定
2. Binary & Hexadecimal 二进制与十六进制: $x=\sum_{i=0}^{n-1}b_i2^i$；每个十六进制位对应四个比特
3. Width 位宽: n 位共有 $2^n$ 种编码；位宽决定可表示范围, 不直接决定数据是否有符号

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Number Conversion 数制转换:

1. Example 示例: 1010 1100₂ = AC₁₆ = 172₁₀ </aside>

B. Integer Representation 整数表示:

a. Unsigned & Two’s Complement 无符号与补码:

1. Unsigned 无符号: $\boxed{x=\sum_{i=0}^{n-1}b_i2^i,\quad 0\le x\le2^n-1}$ 所有位使用正位权
2. Two’s Complement 补码: $\boxed{x=-b_{n-1}2^{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2}b_i2^i}$ 范围为 $\boxed{-2^{n-1}\le x\le2^{n-1}-1}$
3. Unsigned Connection 无符号联系: 设同一 n 位模式的无符号解释为 U；符号位为 0 时补码值等于 U, 为 1 时补码值等于 U − 2ⁿ；最高位负位权正是减去 2ⁿ 的结果

b. Negation & Modular Arithmetic 取负与模运算:

1. Negation 取负: $\boxed{-x\equiv\neg x+1\pmod{2^n}}$ 对固定位宽比特模式按位取反加 1；最小负数的数学相反数超出同位宽正数范围, 保留低位后模式不变
2. Modular Arithmetic 模运算: n 位加减法保留低 n 位时按 2ⁿ 取模；同一加法网络适用于 unsigned 与补码位运算, 结果是否超出各自范围需另行判断
3. Mathematical Value 数学值: 模运算描述位结果, 不代表超出范围的数学整数仍可被该位宽正确表示；进位与有符号溢出见组合逻辑

c. Extension & Truncation 扩展与截断:

1. Zero Extension 零扩展: unsigned 从 n 位扩至 m 位, m > n, 在高位补 0, 保持数值
2. Sign Extension 符号扩展: 补码扩宽时复制原符号位；仅补 0 会改变原负值的解释
3. Unsigned Truncation 无符号截断: 保留低 n 位时, 只有所有丢弃高位均为 0 才保持原无符号数值
4. Signed Truncation 补码截断: 只有所有丢弃高位均等于保留下来的新符号位才保持补码数值；等价于原整数仍落在新位宽可表示范围

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Complement 补码示例:

1. Sign Extension 符号扩展: 1011 为四位补码 −5；扩展到八位得到 1111 1011, 仍为 −5；零扩展 0000 1011 则为 11
2. Negation Example 取负示例: 8 位 5 为 0000 0101, 取反为 1111 1010, 加 1 得 1111 1011, 补码解释为 −5
3. Truncation Example 截断示例: 八位补码 0001 1011 为 27；截为四位 1011, 无符号解释为 11、补码解释为 −5, 均不能保持原值
4. Wraparound 回绕: 四位 1111 + 0001 保留低四位得到 0000；无符号解释为 15 + 1 回绕至 0, 补码解释为 −1 + 1 = 0 </aside>

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Safe Truncation 安全截断对照:

1. Signed Safe 补码安全: 八位 1111 1011 即 −5 截为四位 1011, 丢弃位全为 1 且新符号位也为 1, 数值保持
2. Signed Unsafe 补码不安全: 八位 0000 1000 即 8 截为四位 1000, 丢弃位为 0 而新符号位为 1, 变为 −8；若解释为 unsigned, 同一截断仍保持 8
3. Minimum Value 最小负数: 四位 −8 为 1000, 取反加 1 仍得 1000；位运算完成, 但 +8 无法用四位补码表示 </aside>

C. Binary Codes 二进制编码:

1. BCD 二进制编码十进制: 每个十进制数字独立用四位表示；单个 BCD 数字不使用 1010–1111
2. Gray Code 格雷码: 相邻编码只改变一位；用于卡诺图排序及部分跨域指针设计, 不能单独保证任意多位信号跨域安全
3. One-Hot 独热编码: 有效状态通常只有一位为 1；用更多寄存器位换取较直接的译码, 全零或多位为 1 的处理需明确定义
4. System Connection 系统衔接: 本章讲基本表示规则；浮点、字节序、对齐及处理器访存解释见 COMPUTER ORGANIZATION 计算机组成
5. Binary-to-Gray 二进制转格雷码: $\boxed{g=b\oplus(b\gg1)}$ 此处使用逻辑右移；最高 Gray 位等于最高二进制位, 其余 Gray 位为相邻二进制位的 XOR；反向转换从最高位向低位累计 XOR

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Codes 编码示例:

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Gray Conversion 格雷码转换:

1. Forward 正向: 四位二进制 1011 逻辑右移得 0101, XOR 得 Gray 1110
2. Inverse 反向: Gray 1110 从最高位累计 XOR 得 1、0、1、1, 恢复二进制 1011
3. Scope 适用范围: 相邻计数值只变一位；若源端跨过多个数值、位到达偏差失控或直接传任意载荷, 不能仅凭 Gray 编码声称跨域安全 </aside>

II. BOOLEAN ALGEBRA 布尔代数:

III. COMBINATIONAL LOGIC 组合逻辑:

IV. SEQUENTIAL LOGIC 时序逻辑: